好欸，來講點漂亮的數學！雖然這有可能是這輩子(?)最後一篇完全沒用AI(證明，寫作，畫圖，proofread)的paper了。讓我們回到那個AI還不知道去離家裡50公尺的洗車場洗車需要開車去的時代！

我們就直接進入數學吧！Paper連結：https://arxiv.org/abs/2610.02165

問題： 假設有個圖GG有mm條邊，而且每條邊都被塗了rr種顏色中的其中一種，那我最多有幾個彩虹三角形(三角形使得三邊顏色都不相同)？

如果有在關注這個blog的朋友可能會想起來，之前提過了r=3r=3，請見：https://blog.twchao.org/2024/07/22/rainbow_triangle/

所以今天要問的問題是之前那個問題的推廣。數學家基本上是這樣的，如果有個漂亮的問題，有個漂亮解答，那就會問說有沒有個漂亮的推廣。既然你看到這邊了，那答案是有的！

這問題最早是我跟眼皮在台灣的時候，Shagnik Das跟Christoph Spiegel問我們的，我們花了一個下午，比較了幾個構造後，發現了以下的構造看起來很像是真理。

注意到r=3r=3的時候可以把構造想像成我有一個F22\mathbb{F}_2^2，其中任兩個點之間連一條邊，並且按照他的斜率塗色。所以如果r−1r-1是質數冪次的話，那我也可以對Fr−12\mathbb{F}_{r-1}^2做一樣的事情。

然後，我們就卡住了……。在經過漫長的歲月後(?)，Maya跟我們說我們r=3r=3有個更好的證明，可以用我們的entropy mixture bound做。過了幾天，Maya又跟我們說她會做了<(_ _)>。於是就有了以下的定理。

定理： 給定一個mm條邊的圖GG，每條邊都被塗了rr種顏色中的其中一種，則至多有2(r−2)9rm3/2\sqrt{\frac{2(r-2)}{9r}}m^{3/2}個彩虹三角形。

而如上所說，這個等號會成立在Fr−12\mathbb{F}_{r-1}^2照斜率塗的構造，以及它的balanced blow up。有興趣的讀者可以自己算一下。

好啊，那這要怎麼證呢？老樣子我們得請出我們的entropy工具庫……

哎，打到這裡我懶了，不如大家自己看我在台上跳舞：https://youtu.be/WHKjQ58jkhY?si=ph2bW4ohBXjO3rHR

證明從24:00開始，前面是介紹各種結果。需要補背景知識的朋友們可以看lecture 1的開頭以及lecture 4的35:50開始有mixture bound的證明。五個lecture的影片都能在ibs ECOPRO的youtube找到，充滿typo的筆記請見：https://www.ibs.re.kr/ecopro/summer-2026/